Dodawanie i odejmowanie liczb ujemnych to jedna z kluczowych umiejętności matematycznych, którą uczniowie zdobywają w klasie 6. W tym artykule szczegółowo omówimy, jak wykonywać te działania, podamy liczne przykłady oraz zaproponujemy ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania.
Czym są liczby ujemne?
Zanim przejdziemy do dodawania i odejmowania liczb ujemnych, przypomnijmy sobie, czym właściwie są liczby ujemne. Liczby ujemne to liczby mniejsze od zera. Na osi liczbowej znajdują się one po lewej stronie od zera.
Liczby ujemne zapisujemy ze znakiem minus przed liczbą, na przykład: \(-1\), \(-5\), \(-10\), \(-100\).
Liczby dodatnie (większe od zera) możemy zapisywać ze znakiem plus (np. \(+5\)), ale zazwyczaj pomijamy ten znak i piszemy po prostu \(5\).
Na osi liczbowej liczby ujemne i dodatnie wyglądają następująco:
Dodawanie liczb ujemnych
Przy dodawaniu liczb ujemnych musimy pamiętać o kilku regułach. Rozpatrzmy różne przypadki:
1. Dodawanie liczby dodatniej do dodatniej
To najprostszy przypadek, który znamy już od dawna:
\(5 + 3 = 8\)
2. Dodawanie liczby ujemnej do dodatniej
Gdy dodajemy liczbę ujemną do dodatniej, to tak naprawdę odejmujemy wartość bezwzględną liczby ujemnej od liczby dodatniej.
Przykład: \(7 + (-4) = 7 – 4 = 3\)
Możemy to sobie wyobrazić jako ruch na osi liczbowej: startujemy z punktu 7 i przesuwamy się o 4 jednostki w lewo (bo mamy liczbę ujemną -4). Lądujemy w punkcie 3.
3. Dodawanie liczby dodatniej do ujemnej
Podobnie jak w poprzednim przypadku, dodajemy wartości bezwzględne i zachowujemy odpowiedni znak.
Przykład: \(-6 + 4 = -6 + 4 = -2\)
Na osi liczbowej: startujemy z punktu -6 i przesuwamy się o 4 jednostki w prawo. Lądujemy w punkcie -2.
4. Dodawanie liczby ujemnej do ujemnej
Gdy dodajemy dwie liczby ujemne, dodajemy ich wartości bezwzględne i wynik jest ujemny.
Przykład: \(-5 + (-3) = -(5 + 3) = -8\)
Na osi liczbowej: startujemy z punktu -5 i przesuwamy się o 3 jednostki w lewo. Lądujemy w punkcie -8.
Odejmowanie liczb ujemnych
Odejmowanie liczb ujemnych może wydawać się bardziej skomplikowane, ale można je łatwo zrozumieć, stosując pewne reguły.
1. Odejmowanie liczby dodatniej od dodatniej
To standardowe odejmowanie, które znamy:
\(8 – 3 = 5\)
2. Odejmowanie liczby ujemnej od dodatniej
Gdy odejmujemy liczbę ujemną, to tak jakbyśmy dodawali liczbę dodatnią o tej samej wartości bezwzględnej.
Przykład: \(5 – (-3) = 5 + 3 = 8\)
Możemy to zapamiętać jako regułę: „minus i minus dają plus”. Czyli odejmowanie liczby ujemnej to to samo, co dodawanie liczby dodatniej.
3. Odejmowanie liczby dodatniej od ujemnej
Gdy odejmujemy liczbę dodatnią od ujemnej, wynik będzie jeszcze bardziej ujemny.
Przykład: \(-4 – 3 = -4 – 3 = -7\)
Na osi liczbowej: startujemy z punktu -4 i przesuwamy się o 3 jednostki w lewo. Lądujemy w punkcie -7.
4. Odejmowanie liczby ujemnej od ujemnej
Tutaj stosujemy regułę: odejmowanie liczby ujemnej to to samo, co dodawanie liczby dodatniej.
Przykład: \(-6 – (-2) = -6 + 2 = -4\)
Na osi liczbowej: startujemy z punktu -6 i przesuwamy się o 2 jednostki w prawo. Lądujemy w punkcie -4.
Podsumowanie reguł
Aby ułatwić zapamiętanie wszystkich reguł, przedstawmy je w formie tabeli:
| Działanie | Reguła | Przykład |
|---|---|---|
| Dodawanie liczby dodatniej do dodatniej | Dodajemy normalnie | \(5 + 3 = 8\) |
| Dodawanie liczby ujemnej do dodatniej | Odejmujemy wartość bezwzględną liczby ujemnej | \(7 + (-4) = 7 – 4 = 3\) |
| Dodawanie liczby dodatniej do ujemnej | Odejmujemy mniejszą wartość bezwzględną od większej i dajemy znak liczby o większej wartości bezwzględnej | \(-6 + 4 = -2\) (bo \(|-6| > |4|\)) |
| Dodawanie liczby ujemnej do ujemnej | Dodajemy wartości bezwzględne i wynik jest ujemny | \(-5 + (-3) = -8\) |
| Odejmowanie liczby dodatniej od dodatniej | Odejmujemy normalnie | \(8 – 3 = 5\) |
| Odejmowanie liczby ujemnej od dodatniej | Dodajemy wartość bezwzględną liczby ujemnej | \(5 – (-3) = 5 + 3 = 8\) |
| Odejmowanie liczby dodatniej od ujemnej | Dodajemy wartości bezwzględne i wynik jest ujemny | \(-4 – 3 = -7\) |
| Odejmowanie liczby ujemnej od ujemnej | Odejmujemy wartości bezwzględne i zachowujemy znak liczby o większej wartości bezwzględnej | \(-6 – (-2) = -6 + 2 = -4\) |
Praktyczne przykłady
Zobaczmy, jak stosować powyższe reguły w praktyce:
Przykład 1:
Oblicz: \(-7 + 12\)
Rozwiązanie: \(-7 + 12 = 5\) (dodajemy liczbę dodatnią do ujemnej)
Przykład 2:
Oblicz: \(8 + (-15)\)
Rozwiązanie: \(8 + (-15) = 8 – 15 = -7\) (dodajemy liczbę ujemną do dodatniej)
Przykład 3:
Oblicz: \(-4 + (-9)\)
Rozwiązanie: \(-4 + (-9) = -(4 + 9) = -13\) (dodajemy dwie liczby ujemne)
Przykład 4:
Oblicz: \(6 – (-3)\)
Rozwiązanie: \(6 – (-3) = 6 + 3 = 9\) (odejmujemy liczbę ujemną od dodatniej)
Przykład 5:
Oblicz: \(-5 – 8\)
Rozwiązanie: \(-5 – 8 = -13\) (odejmujemy liczbę dodatnią od ujemnej)
Przykład 6:
Oblicz: \(-10 – (-7)\)
Rozwiązanie: \(-10 – (-7) = -10 + 7 = -3\) (odejmujemy liczbę ujemną od ujemnej)
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Teraz spróbuj rozwiązać poniższe zadania samodzielnie. Możesz sprawdzić swoje odpowiedzi za pomocą kalkulatora umieszczonego poniżej.
- \(-8 + 5 = ?\)
- \(12 + (-7) = ?\)
- \(-6 + (-9) = ?\)
- \(10 – (-4) = ?\)
- \(-3 – 5 = ?\)
- \(-11 – (-8) = ?\)
- \(7 + (-7) = ?\)
- \(-9 + 9 = ?\)
- \(-4 – (-4) = ?\)
- \(5 – 8 = ?\)
Kalkulator dodawania i odejmowania liczb ujemnych
Kalkulator działań na liczbach całkowitych
Wynik: –
Praktyczne zastosowania liczb ujemnych
Liczby ujemne mają wiele zastosowań w życiu codziennym:
- Temperatura – temperatury poniżej zera są zapisywane jako liczby ujemne, np. -5°C.
- Finanse – gdy mamy dług, możemy go zapisać jako liczbę ujemną, np. -100 zł na koncie.
- Wysokość nad i pod poziomem morza – wysokości poniżej poziomu morza zapisujemy jako liczby ujemne.
- Historia – lata przed naszą erą oznaczamy jako liczby ujemne na osi czasu.
Podsumowanie
Dodawanie i odejmowanie liczb ujemnych to ważna umiejętność matematyczna, która przyda się nie tylko w szkole, ale również w życiu codziennym. Kluczem do opanowania tych działań jest zrozumienie podstawowych reguł i dużo praktyki.
Pamiętaj:
- Dodawanie liczby ujemnej to to samo, co odejmowanie jej wartości bezwzględnej.
- Odejmowanie liczby ujemnej to to samo, co dodawanie jej wartości bezwzględnej.
- Przy dodawaniu dwóch liczb ujemnych, dodajemy ich wartości bezwzględne i wynik jest ujemny.
- Przy odejmowaniu liczby dodatniej od ujemnej, dodajemy wartości bezwzględne i wynik jest ujemny.
Regularnie ćwicz te działania, a szybko staniesz się w nich biegły!